Um Pouco de Geometria Analítica!

A Geometria Analítica é uma parte da Matemática , que através de processos particulares, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo, uma reta , uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos .

Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No seu livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase em latim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo".

Seja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem.

Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentos medidos a partir de O, sejam positivos à direita e negativos à esquerda.

O comprimento do segmento OA é igual a 1 u.c (u.c = unidade de comprimento). É fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A

é 1, etc.

A reta r é chamada eixo das abscissas.

Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos estender a ideia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que será a origem do sistema. Veja a Fig. a seguir:

Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P.

O eixo OX é denominado eixo das abscissas e o eixo OY é denominado eixo das ordenadas.

O ponto O(0,0) é a origem do sistema de coordenadas cartesianas.

Os sinais algébricos de a e b definem regiões do plano denominadas QUADRANTES.

No 1º quadrante, a e b são positivos, no 2º quadrante, a é negativo e b positivo, no 3º quadrante, ambos são negativos e finalmente no 4º quadrante a é positivo e b negativo.

Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada nula e todos os pontos do eixo OY tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equação do eixo OX é y = 0 e a equação do eixo OY é

x = 0.

Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1º quadrante, cuja equação evidentemente é y = x.

Já os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadas simétricas, definem uma reta denominada bissetriz do 2º quadrante, cuja equação evidentemente é y = - x.

Os eixos OX e OY são denominados eixos coordenados.

(Sistema de coordenadas cartesiano)

Abaixo, um pequeno vídeo mostrando um pouco sobre a história da Geometria Analítica!